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kapitel_regression/regression_2.qmd

@@ -42,17 +42,17 @@ $$
 $$
 Diese Teststatistik hat unter der Nullhypothese eine $t_{n-2}$-Verteilung. Je nach Wahl der Alternativhypothese deuten entweder große oder kleine Werte von $T$ auf eine Abweichung von der Nullhypothese in Richtung der Alternative oder sowohl große als auch kleine Werte. Im Einzelnen verfahren wir wie folgt:
 
-* $H_1: \beta>0$: Wir verwerfen die Nullhypothese zum Signifikanzniveau $\alpha$, wenn 
+* $H_1: \beta>0$: Wir verwerfen die Nullhypothese zum Signifikanzniveau $\alpha_{0}$, wenn 
 $$
-  T>t_{n-2;1-\alpha}
+  T>t_{n-2;1-\alpha_{0}}
 $$
-* $H_1:\beta<0$: Wir verwerfen die Nullhypothese zum Signifikanzniveau $\alpha$, wenn 
+* $H_1:\beta<0$: Wir verwerfen die Nullhypothese zum Signifikanzniveau $\alpha_{0}$, wenn 
 $$
-  T<t_{n-2;\alpha}
+  T<t_{n-2;\alpha_{0}}
 $$
-* $H_1:\beta\neq 0$: Wir verwerfen die Nullhypothese zum Signifikanzniveau $\alpha$, wenn 
+* $H_1:\beta\neq 0$: Wir verwerfen die Nullhypothese zum Signifikanzniveau $\alpha_{0}$, wenn 
 $$
-  T<t_{n-2;\alpha/2} \text{ oder } T>t_{n-2;1-\alpha/2}
+  T<t_{n-2;\alpha_{0}/2} \text{ oder } T>t_{n-2;1-\alpha_{0}/2}
 $$
 
 :::
@@ -68,11 +68,11 @@ $$
 $$
 Unter der Nullhypothese $H_0:\beta=\beta_0$ hat $T$ eine
 $t_{n-2}$-Verteilung. Bei der zweiseitigen Alternative $A:\beta\neq
-\beta_0$ verwerfen wir die Nullhypothese wenn $T\leq -t_{n-2;1-\alpha/2}$ oder
-$T\geq t_{n-2;1-\alpha/2}$. Bei der einseitigen Alternative
-$A:\beta>\beta_0$ verwerfen wir $H$ wenn $T\geq t_{n-2;1-\alpha}$. Lautet
+\beta_0$ verwerfen wir die Nullhypothese wenn $T\leq -t_{n-2;1-\alpha_{0}/2}$ oder
+$T\geq t_{n-2;1-\alpha_{0}/2}$. Bei der einseitigen Alternative
+$A:\beta>\beta_0$ verwerfen wir $H$ wenn $T\geq t_{n-2;1-\alpha_{0}}$. Lautet
 die einseitige Alternative $A:\beta<\beta_0$, so verwerfen wir die
-Hypothese, wenn $T\leq -t_{n-2;1-\alpha}$.
+Hypothese, wenn $T\leq -t_{n-2;1-\alpha_{0}}$.
 
 :::
 
@@ -126,7 +126,7 @@ Wir wollen jetzt die Nullhypothese $H_0:\beta=0$ testen, d.h. dass die morgendli
 $$
    T=\hat{\beta}\, \sqrt{ \frac{(n-2)\, s_x^2}{ (1-r_{x,y}^2)s_y^2 } } = \frac{s_y}{s_x} r_{x,y} \, \sqrt{ \frac{(n-2)\, s_x^2}{ (1-r_{x,y}^2)s_y^2 } } =- \sqrt{\frac{(n-2)\,  r_{x,y}^2 } {1-r_{x,y}^2}}=-\sqrt{\frac{11\cdot 0.6^2}{1-0.6^2 }   } = -2.49.
 $$
-Der kritische Wert für den einseitigen T-Test zum Signifikanzniveau $\alpha=0.05$ ist in diesem Fall $t_{11;0.05}=-1.80$. Da der beobachtete Wert der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, verwerfen wir die Nullhypothese $H_0: \beta=0$ zu Gunsten der Alternativhypothese $H_1:\beta<0$. Wir können also davon ausgehen, dass die morgendliche Außentemperatur einen negativen Einfluss auf den Energieverbrauch der Heizung hat. 
+Der kritische Wert für den einseitigen T-Test zum Signifikanzniveau $\alpha_{0}=0.05$ ist in diesem Fall $t_{11;0.05}=-1.80$. Da der beobachtete Wert der Teststatistik kleiner als der kritische Wert ist, verwerfen wir die Nullhypothese $H_0: \beta=0$ zu Gunsten der Alternativhypothese $H_1:\beta<0$. Wir können also davon ausgehen, dass die morgendliche Außentemperatur einen negativen Einfluss auf den Energieverbrauch der Heizung hat. 
 
 Ergänzend berechnen wir noch den $p$-Wert, der in diesem Fall gegeben ist durch
 $$
@@ -175,15 +175,15 @@ hat. Also hat $\frac{\hat{\beta}-\beta}{\sigma} \sqrt{\sum_{i=1}^n
 (x_i-\bar{x})^2}$ eine $N(0,1)$-Verteilung. Wenn wir jetzt den
 unbekannten Parameter $\sigma^2$ durch den Schätzer $s_{y|x}^2$
 ersetzen, so verändert dies die Verteilung in eine
-$t_{n-2}$-Verteilung und somit gilt mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$,
+$t_{n-2}$-Verteilung und somit gilt mit Wahrscheinlichkeit $1-\alpha_{0}$,
 dass
 $$
- - t_{n-2;1-\alpha/2} \leq \frac{\hat{\beta}-\beta}{\sqrt{s_{y|x}^2}} \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \leq t_{n-2;1-\alpha/2}.
+ - t_{n-2;1-\alpha_{0}/2} \leq \frac{\hat{\beta}-\beta}{\sqrt{s_{y|x}^2}} \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \leq t_{n-2;1-\alpha_{0}/2}.
 $$
 Durch Umformungen erhalten wir hieraus das folgende
-$1-\alpha$-Konfidenzintervall für $\beta$:
+$1-\alpha_{0}$-Konfidenzintervall für $\beta$:
 $$
-  \Big[  \hat{\beta}- t_{n-2;1-\alpha/2} \frac{\sqrt{s_{y|x}^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}} ,  \hat{\beta}+t_{n-2;1-\alpha/2} \frac{\sqrt{s_{y|x}^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}}  \Big].
+  \Big[  \hat{\beta}- t_{n-2;1-\alpha_{0}/2} \frac{\sqrt{s_{y|x}^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}} ,  \hat{\beta}+t_{n-2;1-\alpha_{0}/2} \frac{\sqrt{s_{y|x}^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}}  \Big].
 $$
 Die Länge des Konfidenzintervalls ist umgekehrt proportional zu
 $\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$; je breiter gestreut die
@@ -205,11 +205,11 @@ $N(0,1)$-Verteilung. Ersetzen wir hier $\sigma^2$ durch den Schätzer
 $s_{y|x}^2$, so erhalten wir eine $t_{n-2}$-verteilte
 Zufallsvariable. Mit denselben Überlegungen und Umformungen wie beim
 Konfidenzintervall für $\beta$ erhalten wir schließlich das folgende
-$1-\alpha$-Konfidenzintervall für den Parameter $\alpha$
+$1-\alpha_{0}$-Konfidenzintervall für den Parameter $\alpha$
 $$
-  \Big[\hat{\alpha}-t_{n-2;1-\alpha/2} \sqrt{s_{y|x}^2}  
+  \Big[\hat{\alpha}-t_{n-2;1-\alpha_{0}/2} \sqrt{s_{y|x}^2}  
  \left( \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\right)^{1/2},
-   \hat{\alpha}+t_{n-2;1-\alpha/2} \sqrt{s_{y|x}^2}  
+   \hat{\alpha}+t_{n-2;1-\alpha_{0}/2} \sqrt{s_{y|x}^2}  
  \left( \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\right)^{1/2}
      \Big].
 $$
@@ -223,15 +223,15 @@ $$
 Bei der Suche nach einem Konfidenzintervall für die Varianz des
 Fehlerterms verwenden wir die Tatsache, dass $(n-2)
 s_{y|x}^2/\sigma^2$ eine $\chi_{n-2}^2$-Verteilung hat, und daher mit
-Wahrscheinlichkeit $1-\alpha$ gilt, dass
+Wahrscheinlichkeit $1-\alpha_{0}$ gilt, dass
 $$
- \chi^2_{n-2;\alpha/2} \leq (n-2)\frac{s_{y|x}^2}{\sigma^2}
-  \leq \chi^2_{n-2;1-\alpha/2}.
+ \chi^2_{n-2;\alpha_{0}/2} \leq (n-2)\frac{s_{y|x}^2}{\sigma^2}
+  \leq \chi^2_{n-2;1-\alpha_{0}/2}.
 $$
-Durch Umformen erhalten wir ein $1-\alpha$-Konfidenzintervall für $\sigma^2$:
+Durch Umformen erhalten wir ein $1-\alpha_{0}$-Konfidenzintervall für $\sigma^2$:
 $$
- \left[(n-2)s_{y|x}^2 / \chi^2_{n-2;1-\alpha/2}, 
- (n-2) s_{y|x}^2/ \chi^2_{n-2;\alpha/2} \right].
+ \left[(n-2)s_{y|x}^2 / \chi^2_{n-2;1-\alpha_{0}/2}, 
+ (n-2) s_{y|x}^2/ \chi^2_{n-2;\alpha_{0}/2} \right].
 $$
 
 :::
@@ -265,7 +265,7 @@ kann man relativ einfach aus dem R-Output ermitteln. Beide
 Konfidenzintervalle haben die Struktur
 $$
 \text{Schätzwert} \pm
-t_{n-2;1-\alpha/2} \cdot \text{geschätzte Standardabweichung des Schätzers}.
+t_{n-2;1-\alpha_{0}/2} \cdot \text{geschätzte Standardabweichung des Schätzers}.
 $$
 Schauen wir nun noch einmal auf die R-Ausgabe:
 ```{r, echo=FALSE}