@@ -15,7 +15,7 @@ abstract: "In diesem Kapitel behandeln wir einen Hypothesentest und Konfidenzint
Im Zusammenhang mit dem linearen Regressionsmodell kann man diverse Hypothesen über die Modellparameter testen. Wir wollen an dieser Stelle zunächst die wichtigste Nullhypothese $H_0:\beta=0$ betrachten, d.h. dass die Steigung der Regressionsgeraden gleich $0$ ist. Diese Nullhypothese bedeutet, dass die erklärende Variable $x$ keinen Einfluss auf die abhängige Variable $y$ hat. Je nach Sachkontext wird man diese Nullhypothese gegen die zweiseitige Alternativhypothese $H_1: \beta\neq 0$ oder gegen eine der einseitigen Alternativhypothesen $H_1:\beta>0$ bzw. $H_1:\beta<0$ testen. Die einseitige Alternativhypothese $H_1: \beta>0$ ist relevant, wenn wir von vornherein sicher sein können, dass die erklärende Variable keinen negativen Einfluss auf die abhängige Variable haben kann. Analog ist die einseitige Alternativhypothese $H_1: \beta<0$ relevant, wenn die erklärende Variable keinen positiven Einfluss auf die abhängige Variable haben kann. Gibt uns der Sachkontext keine derartige Vorinformation, so sollten wir immer die zweiseitige Alternativhypothese wählen.
Als Teststatistik zum Testen der Nullhypothese $H:\beta=0$ bietet sich
Als Teststatistik zum Testen der Nullhypothese $H_0:\beta=0$ bietet sich
zunächst die geschätzte Steigung $\widehat{\beta}$ der
Regressionsgeraden an. Um beurteilen zu können, ob $\widehat{\beta}$
signifikant von $0$ abweicht, standardisieren wir mit der
...
...
@@ -68,11 +68,11 @@ $$
$$
Unter der Nullhypothese $H_0:\beta=\beta_0$ hat $T$ eine
$t_{n-2}$-Verteilung. Bei der zweiseitigen Alternative $A:\beta\neq
\beta_0$ verwerfen wir die Nullhypothese wenn $T\leq -t_{n-2;0.025}$ oder
$T\geq t_{n-2;0.025}$. Bei der einseitigen Alternative
$A:\beta>\beta_0$ verwerfen wir $H$ wenn $T\geq t_{n-2;\alpha}$. Lautet
\beta_0$ verwerfen wir die Nullhypothese wenn $T\leq -t_{n-2;1-\alpha/2}$ oder
$T\geq t_{n-2;1-\alpha/2}$. Bei der einseitigen Alternative
$A:\beta>\beta_0$ verwerfen wir $H$ wenn $T\geq t_{n-2;1-\alpha}$. Lautet
die einseitige Alternative $A:\beta<\beta_0$, so verwerfen wir die
