Regression: Remove draft chapter ‘Polynomiale Regression’

kapitel_regression/Polynomiale_Regression.qmd

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-title: "Polynomiale Regression"
-abstract: "Hier fassen wir kurz zusammen, worum es in diesem Kapitel inhaltlich geht."
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-**Lernziele:** Am Ende des Kapitels können Sie
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-- das erste Lernziel.
-- mit Sicherheit das zweite Lernziel.
-- vielleicht auch noch das dritte Lernziel.
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-::: {.content-visible when-profile="einzelmaterialien"}
-*Hinweis:* Die mit einem {{< fa pencil >}} gekennzeichneten Aufgaben können Sie durch schriftliches Rechnen lösen. Die mit {{< fa brands r-project >}} gekennzeichneten Aufgaben setzen Grundkenntnisse der Programmierung mit der statistischen Software R voraus. Sie können [R hier installieren](https://cran.r-project.org/), falls Sie R nicht auf Ihrem Rechner installiert haben. Zusätzlich empfiehlt sich die Installation einer integrierten Entwicklungsumgebung (IDE), wie zum Beispiel [RStudio](https://posit.co/download/rstudio-desktop/). Alternativ zur Installation können Sie die Web-Version [webR](https://webr.r-wasm.org/latest/) direkt im Browser verwenden.
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-## Polynomiale Regression
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-Das polynomiale Regressionsmodell stellt eine wesentliche Erweiterung
-des einfachen linearen Regressionsmodells dar, indem es zur
-Modellierung der Abhängigkeit zwischen der erklärenden Variablen und
-dem Ergebnis des Experiments nicht nur lineare Funktionen zulässt,
-sondern beliebige Polynome. Wir bezeichnen wieder mir $x_i$ den Wert
-der erklärenden Variablen beim $i$-ten Experiment und betrachten dann
-das Modell
-$$
-  Y_i = \beta_0 + \beta_1 \, x_i  + \ldots  + \beta_p \, x^p_i + \epsilon_i
-$$
-Dieses polynomialre Regressionsmodell hat eine Desginmatrix, deren
-$(p+1)$ Spalten die $j$-ten Potenzen der Werte der erklärenden
-Variablen beim $i$-ten Experiment sind, das heißt
-$$
- X =
-   \left(
-   \begin{array}{ccccc}
-   1 & x_1 & x_1^2& \cdots & x_1^p \\
-    1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^p\\
-    \vdots & \vdots & \vdots && \vdots \\
-    1 & x_n & x_n^2 &\cdots &x_n^p
-   \end{array}
-   \right) \in \mathbb{R}^{n\times (p+1)}.
-$$
-Im ersten Moment mag es überraschen, dass ein lineares Modell auch
-nichtlineare Funktionen enthalten kann. Bei genauer Betrachtung stellt
-sich aber heraus, dass es bei einem linearen Modell um lineare
-Abhängigkeit von den Parametern geht. Entsprechend kann man die Monome
-$x^j$, $0\leq j\leq p$, durch beliebige Funktionen $f_j(x)$ ersetzen
-und als Modell beliebige Linearkombinationen dieser Funktionen
-betrachten. Hingegen ist etwa das Modell $Y_i=\exp(\alpha + \beta\,
-x_i) +\epsilon_i$ kein lineares Modell mehr.