changed Hypothese to Nullhypothese in text

kapitel_regression/regression_4.qmd

@@ -217,13 +217,13 @@ Bestimmen Sie die Komponenten der Streuungszerlegung für die `USairpollution` D
 
 ## $F$-Test für lineare Hypothesen
 
-In praktischen Anwendungen begegnet man oft  linearen Regressionsmodellen mit vielen erklärenden Variablen. Im nächsten Schritt stellt sich dann die Frage, ob wirklich alle erklärenden Variablen einen signifikanten Einfluss auf das Ergebnis des Experiments haben. Dass eine erklärende Variable keinen Einfluss auf das Ergebnis des Experiments hat, ist gleichbedeutend damit, dass der entsprechende Regressionskoeffizient gleich Null ist. Nach einer eventuellen Umordnung der erklärenden Variablen führt uns dies zu der folgenden Hypothese:
+In praktischen Anwendungen begegnet man oft  linearen Regressionsmodellen mit vielen erklärenden Variablen. Im nächsten Schritt stellt sich dann die Frage, ob wirklich alle erklärenden Variablen einen signifikanten Einfluss auf das Ergebnis des Experiments haben. Dass eine erklärende Variable keinen Einfluss auf das Ergebnis des Experiments hat, ist gleichbedeutend damit, dass der entsprechende Regressionskoeffizient gleich Null ist. Nach einer eventuellen Umordnung der erklärenden Variablen führt uns dies zu der folgenden Nullhypothese:
 $$
- H: \; \beta_{q+1}=\ldots =\beta_p=0,
+ H_0: \; \beta_{q+1}=\ldots =\beta_p=0,
 $$
 wobei $q<p$. Auf diesem Wege sind $r=p-q$ der ursprünglichen erklärenden Variablen weggefallen. 
 
-Unter dieser Hypothese haben wir ein neues lineares Regressionsmodell, jetzt mit $q$ erklärenden Variablen,
+Unter dieser Nullhypothese haben wir ein neues lineares Regressionsmodell, jetzt mit $q$ erklärenden Variablen,
 $$
  Y_i= x_{i1}\beta_1 +\ldots +x_{iq}\beta_q +\epsilon_i.
 $$
@@ -246,7 +246,7 @@ Das Ungleichheitszeichen in der Mitte ist dadurch begründet, dass wir bei der e
 
 Entsprechend wird die durch das kleinere Modell  mit $q$ erklärenden Variablen erklärte Streuung  in jedem Fall kleiner sein als unter dem ursprünglichen Modell mit der größeren Anzahl an erklärenden Variablen, und damit wird auch das Bestimmtheitsmaß kleiner sein. Dies wird selbst dann gelten, wenn die erklärenden Variablen $x_{q+1},\ldots, x_p$ in Wirklichkeit keinen Einfluss auf das Ergebnis des Experiments haben. 
 
-Als Teststatistik für einen Test auf Gültigkeit der Hypothese  $H: \; \beta_{q+1}=\ldots =\beta_p=0$ bietet sich die Differenz zwischen der durch das kleinere Modell und der unter dem ursprünglichen Modell nicht erklärten Streuung an. Diese Differenz standardisiert man noch, indem man einmal durch die Differenz der Anzahlen der erklärenden Variablen unter den beiden Modellen teilt und zum anderen durch die geschätzte Varianz. So ergibt sich die $F$-Teststatistik
+Als Teststatistik für einen Test auf Gültigkeit der Nullhypothese $H_0: \; \beta_{q+1}=\ldots =\beta_p=0$ bietet sich die Differenz zwischen der durch das kleinere Modell und der unter dem ursprünglichen Modell nicht erklärten Streuung an. Diese Differenz standardisiert man noch, indem man einmal durch die Differenz der Anzahlen der erklärenden Variablen unter den beiden Modellen teilt und zum anderen durch die geschätzte Varianz. So ergibt sich die $F$-Teststatistik
 $$
   F=\frac{(SQ_{error}(H)-SQ_{error})/(p-q)}{SQ_{error}/(n-p)}.
 $$
@@ -266,7 +266,7 @@ Falls die Nullhypothese gilt, hat die $F$-Teststatistik eine $F_{p-q,n-p}$-Verte
 ::: {#exm-regression4-luftverschmutzung-f-test}
 Wir betrachten in `R` die `USairpollution`-Daten und untersuchen die Nullypothese, dass die Anzahl der Regentage sowie die Einwohnerzahl keinen Einfluss auf die Luftverschmutzung haben, d.h. 
 $$
-  H: \beta_3=\beta_6=0. 
+  H_0: \beta_3=\beta_6=0. 
 $$
 
 Dazu analysieren wir zunächst das resultierende lineare Regressionsmodell  mit den verbliebenen $4$ erklärenden Variablen 
@@ -306,7 +306,7 @@ $F_{2,34}$-verteilte Zufallsvariable einen Wert größer oder gleich
 1 - pf(3.43, 2, 34)
 ```
 
-Ein Test zum Signifikanzniveau $\alpha=5\%$ würde also die Hypothese
+Ein Test zum Signifikanzniveau $\alpha=5\%$ würde also die Nullhypothese
 verwerfen.
 :::
 
@@ -335,7 +335,7 @@ also dasselbe Ergebnis wie in @exm-regression4-luftverschmutzung-f-test.
 <br>
 
 Betrachten Sie nochmals den Datensatz `USairpollution` und testen Sie die Nullhypothese 
-$H:\beta_1=\beta_3=\beta_4=\beta_5=\beta_6=0$ zum Niveau $\alpha=0.05$.
+$H_0:\beta_1=\beta_3=\beta_4=\beta_5=\beta_6=0$ zum Niveau $\alpha=0.05$.
 :::
 
 ## Lösungen der Aufgaben {.unnumbered}
@@ -388,7 +388,7 @@ zurück zu @exr-regression4-luftverschmutzung-komponenten-streuung
 ::: {.callout-tip collapse="true"}
 ### Lösung zu @exr-regression4-luftverschmutzung-f-test
 
-Unter der obigen Hypothese erhalten wir das lineare Modell
+Unter der obigen Nullhypothese erhalten wir das lineare Modell
 $$
   Y_i=\alpha+\beta\, x_{i2}+\epsilon_i,
 $$
@@ -400,7 +400,7 @@ Im Modell mit allen 6 erklärenden Variablen war die nicht erklärte Streuung we
 $$
  SQ_{error}= 7283.52.
 $$
-Um zu entscheiden, ob die Differenz auf eine Abweichung von der Hypothese hindeutet, berechnen wir den Wert der $F$-Statistik
+Um zu entscheiden, ob die Differenz auf eine Abweichung von der Nullhypothese hindeutet, berechnen wir den Wert der $F$-Statistik
 $$
   F=\frac{(SQ_{error}(H)-SQ_{error})/5}{SQ_{error}/34} = \frac{(12876.16-7283.52)/5 }{ 7283.52/34 } = 5.22.
 $$
@@ -410,7 +410,7 @@ Den zugehörigen $p$-Wert bestimmen wir mit dem R-Befehl
  1-pf(5.22, 4, 34)
 ```
 
-Der $p$-Wert beträgt also $0.2 \%$  und entsprechend verwerfen wir die Hypothese, dass die erklärenden Variablen $x_1,x_3,x_4,x_5,x_6$ keinen Einfluss auf die Luftverschmutzung haben.
+Der $p$-Wert beträgt also $0.2 \%$  und entsprechend verwerfen wir die Nullhypothese, dass die erklärenden Variablen $x_1,x_3,x_4,x_5,x_6$ keinen Einfluss auf die Luftverschmutzung haben.
 
 zurück zu @exr-regression4-luftverschmutzung-f-test
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