Update regression_2.qmd

kapitel_regression/regression_2.qmd

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 title: "Hypothesentest und Konfidenzintervalle"
-abstract: "In diesem Kapitel behandeln wir einen Hypothesentest und Konfidenzintervalle für die einfache lineare Regression.  Wir erklären, wie Konfidenzintervalle berechnet werden und wie die Hypothese getestet werden kann, dass die Regressionsgerade eine vorgegebene Steigung $\beta_0$ aufweist. Insbesondere werden wir erklären, wie die Hypothese getestet werden kann, dass die erklärende Variable keinen Einfluss auf die abhängige Variable hat."
+abstract: "In diesem Kapitel behandeln wir einen Hypothesentest und Konfidenzintervalle für die einfache lineare Regression.  Wir erklären, wie Konfidenzintervalle berechnet werden und wie die Hypothese getestet werden kann, dass die Regressionsgerade eine vorgegebene Steigung $\\beta_0$ aufweist. Insbesondere werden wir erklären, wie die Hypothese getestet werden kann, dass die erklärende Variable keinen Einfluss auf die abhängige Variable hat."
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 > **Lernziele:** Am Ende des Kapitels können Sie
@@ -181,7 +181,7 @@ $$
  - t_{n-2;1-\alpha/2} \leq \frac{\hat{\beta}-\beta}{\sqrt{s_{y|x}^2}} \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2} \leq t_{n-2;1-\alpha/2}.
 $$
 Durch Umformungen erhalten wir hieraus das folgende
-$1-\alpha$ Konfidenzintervall für $\beta$:
+$1-\alpha$-Konfidenzintervall für $\beta$:
 $$
   \Big[  \hat{\beta}- t_{n-2;1-\alpha/2} \frac{\sqrt{s_{y|x}^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}} ,  \hat{\beta}+t_{n-2;1-\alpha/2} \frac{\sqrt{s_{y|x}^2}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}}  \Big].
 $$
@@ -205,7 +205,7 @@ $N(0,1)$-Verteilung. Ersetzen wir hier $\sigma^2$ durch den Schätzer
 $s_{y|x}^2$, so erhalten wir eine $t_{n-2}$-verteilte
 Zufallsvariable. Mit denselben Überlegungen und Umformungen wie beim
 Konfidenzintervall für $\beta$ erhalten wir schließlich das folgende
-$1-\alpha$ Konfidenzintervall für den Parameter $\alpha$
+$1-\alpha$-Konfidenzintervall für den Parameter $\alpha$
 $$
   \Big[\hat{\alpha}-t_{n-2;1-\alpha/2} \sqrt{s_{y|x}^2}  
  \left( \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}\right)^{1/2},
@@ -228,7 +228,7 @@ $$
  \chi^2_{n-2;\alpha/2} \leq (n-2)\frac{s_{y|x}^2}{\sigma^2}
   \leq \chi^2_{n-2;1-\alpha/2}.
 $$
-Durch Umformen erhalten wir ein $95\%$ Konfidenzintervall für $\sigma^2$:
+Durch Umformen erhalten wir ein $1-\alpha$-Konfidenzintervall für $\sigma^2$:
 $$
  \left[(n-2)s_{y|x}^2 / \chi^2_{n-2;1-\alpha/2}, 
  (n-2) s_{y|x}^2/ \chi^2_{n-2;\alpha/2} \right].
@@ -330,7 +330,7 @@ zurück zu @exr-regression2-energie-confint-beta
 
 Zunächst machen wir eine lineare Regression mit R und erhalten:
 
-```{r, echo=FALSE}
+```{r}
 summary(lm(Energie~Temperatur, data=Daten))
 ```