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kapitel_regression/regression_1.qmd

@@ -179,7 +179,7 @@ morgendlichen Außentemperatur von 10 ℃ vorherzusagen.
 
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-Die Varianz $\sigma^2=\operatorname{Var}(\epsilon)=E(\epsilon^2)$ spiegelt sich in den horizontalen Abständen zwischen den Datenpunkten und der Kleinste-Quadrate-Regressionsgerade wieder, und entsprechend liegt es nahe, das arithmetische Mittel der Abstandsquadrate als Schätzer für $\sigma^2$ zu nehmen. Es stellt sich heraus, dass dieser Schätzer nicht erwartungstreu ist, und dass man besser den folgenden Schätzer nehmen kann:
+Die Varianz $\sigma^2=\operatorname{Var}(\epsilon)=E(\epsilon^2)$ spiegelt sich in den horizontalen Abständen zwischen den Datenpunkten und der Kleinste-Quadrate-Regressionsgerade wider, und entsprechend liegt es nahe, das arithmetische Mittel der Abstandsquadrate als Schätzer für $\sigma^2$ zu nehmen. Es stellt sich heraus, dass dieser Schätzer nicht erwartungstreu ist, und dass man besser den folgenden Schätzer nehmen kann:
 $$
   s_{y|x}^2:=\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^n (y_i-\widehat{\alpha}-\widehat{\beta}\, x_i)^2.
 $$
@@ -243,7 +243,7 @@ $s_{y|x}^2$ ist ein erwartungstreuer Schätzer und $(n-2)s_{y|x}^2/\sigma^2$ hat
 Wie beweisen hier nur die Aussagen über die Verteilung von $\alpha$ und $\beta$. Der Beweis der Aussage über die Verteilung von $s_{y|x}^2$ ist deutlich anspruchsvoller und wird in allgemeiner Form im Kapitel zur multiplen linearen Regression gegeben.
 
 Dass die Schätzer $\hat{\alpha}$ und $\hat{\beta}$ normalverteilt sind, folgt unmittelbar aus der Tatsache, dass beide sich als Linearkombinationen der unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen $Y_1,\ldots,Y_n$ darstellen lassen. Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie ist bekannt, dass Linearkombinationen unabhängiger normalverteilter Zufallsvariablen normalverteilt sind. Für die Berechnung des Erwartungswerts und der Varianz von $\hat{\beta}$ verwenden wir
-noch einmal die Identität \eqref{eq:beta-hat-2}, setzen für $y_i$ die Zufallsvariable $Y_i$ ein, und erhalten so am Ende folgende Darstellung des Schätzers 
+noch einmal die Identität @eq-regression1-beta_hat_2, setzen für $y_i$ die Zufallsvariable $Y_i$ ein, und erhalten so am Ende folgende Darstellung des Schätzers 
 $$
   \hat{\beta}=\frac{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})\, Y_i}
      {\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}. 
@@ -319,10 +319,10 @@ Die Schätzwerte für die Parameter $\alpha$, $\beta$ und $\sigma$ können wir m
 summary(lm(Energie ~ Temperatur, data = Daten))
 ```
 
-Die Schätzwerte für die Parameter $\beta_0$ und $\beta_1$ können im
+Die Schätzwerte für die Parameter $\alpha$ und $\beta$ können im
 Abschnitt `Coefficients` in der Spalte `Estimate` abgelesen
-werden. Der Wert für $\beta_0$ steht in der Zeile `(Intercept)`, der
-Wert für $\beta_1$ steht in der Zeile `Temperatur`. Diese Zeile ist
+werden. Der Wert für $\alpha$ steht in der Zeile `(Intercept)`, der
+Wert für $\beta$ steht in der Zeile `Temperatur`. Diese Zeile ist
 immer nach der erklärenden Variable benannt. 
 
 Den Schätzwert für $\sigma$ finden wir als `Residual standard error` in der R-Ausgabe, hier also
@@ -594,7 +594,7 @@ zurück zu @exr-regression1-zusammengefasst
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 #### Autor:innen {.unnumbered}
 
-Diese Lerneinheit wurde von Herold Dehling und Daniel Meißner an der Ruhr-Universität Bochum entwickelt. Es ist lizenziert unter der [CC-BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de) Lizenz und ist verfügbar auf [ORCA.nrw](https://www.orca.nrw).
+Diese Lerneinheit wurde von Herold Dehling und Daniel Meißner unter Mithilfe von Elias Kaiser an der Ruhr-Universität Bochum entwickelt. Es ist lizenziert unter der [CC-BY-SA 4.0](https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.de) Lizenz und ist verfügbar auf [ORCA.nrw](https://www.orca.nrw).
 
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