Update regression_3.qmd

kapitel_regression/regression_3.qmd

@@ -226,7 +226,7 @@ Der geometrische Zugang beginnt mit der Beobachtung, dass die zu minimierende Su
 $$
 \sum^{n}_{i=1}(y_i - \sum^p_{j=1}\beta_j \, x_{ij})^2= ||y-X\, \beta||^2.
 $$ 
-Wir suchen jetzt dasjenige $\beta$, für das der Abstand von $X\, \beta$ zu dem gegebenen $Y$ minimal wird. Wir betrachten dazu den Raum 
+Wir suchen jetzt dasjenige $\beta$, für das der Abstand von $X\, \beta$ zu dem gegebenen $y$ minimal wird. Wir betrachten dazu den Raum 
 $$
 \omega=\{ X \beta: \beta \in \mathbb{R}^p\} \subset\mathbb{R}^n.
 $$
@@ -256,7 +256,7 @@ $$
 ::: {#exm-regression3-usairpollution}
 
 In `R` findet man den Datensatz `USairpollution`, der Daten zur
-Luftverschmutzung in n=41 Großstädten in den USA enthält. Die
+Luftverschmutzung in $n=41$ Großstädten in den USA enthält. Die
 Luftverschmutzung wird charakterisiert durch den Gehalt an
 Schwefeldioxid ($y=$`SO2`). Als erklärende Variablen werden die
 durchschnittliche Jahrestemperatur ($x_1=$`temp`), die Anzahl der
@@ -277,7 +277,7 @@ die gegeben ist durch
 $$
   Y= \beta_0+  \beta_1\, x_1 +  \beta_2\, x_2 + \beta_3\, x_3 + \beta_4\, x_4+ \beta_5\, x_5 +  \beta_6\, x_6 + \epsilon. 
 $$
-Zur Analyse dieses Modells in R verwenden wir den Befehl
+Zur Analyse dieses Modells in`R`verwenden wir den Befehl
 
 ```{r results = 'hide'}
 attach(USairpollution)
@@ -672,10 +672,12 @@ da $Z_i\sim N(0,\sigma^2)$ für $i=p+1,\ldots, n$. Weiter sind die Zufallsvariab
 <br>
 Im Fall normalverteilter Fehler ist der Kleinste-Quadrate-Schätzer zugleich der Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter $\beta$, was uns eine tiefere Rechtfertigung für die Verwendung des Kleinste-Quadrate-Schätzers liefert, die bereits Gauß bekannt war.  Um dies zu erkennen, schreiben wir zunächst die gemeinsame Dichte der Beobachtungen $Y_1, \ldots, Y_n$ auf.
 Nach den Transformationsregeln für eindimensionale Normalverteilungen hat $Y_i =  \sum^{p}_{j=1}x_{ij} \beta_j +  \epsilon_i$ eine $N(\sum^p_{j=1}x_{ij} \beta_{j}, \sigma^2)$-Verteilung und somit haben $Y_1,\ldots,Y_n$ die gemeinsame Dichtefunktion
+
 \begin{align*}
 f_{\beta, \sigma^2}(y_1,\ldots, y_n)& =  \frac{1}{(2 \pi\sigma^2)^{n/2}} \exp\Big(-\frac{1}{2\sigma^2}\sum^n_{i=1}\big(y_i - \sum^p_{j=1} x_{ij}\beta_j \big)^2\Big)\\
 & =  \frac{1}{(2 \pi\sigma^2)^{n/2}}  \exp\Big( - \frac{1}{2 \sigma^2}||y - X \beta||^2\Big).
 \end{align*}
+
 Entsprechend ist die Likelihood-Funktion gegeben durch 
 $$
  L(\beta,\sigma)=   \frac{1}{(2 \pi\sigma^2)^{n/2}}\, \exp\Big( - \frac{1}{2 \sigma^2}\, ||y - X \beta||^2\Big).
@@ -701,6 +703,8 @@ $$
 und somit ist der Maximum-Likelihood-Schätzer gegeben durch $\hat{\sigma}_{ML}^2= \frac{1}{n}\, ||y-X \hat{\beta}||^2$. Wir weisen darauf hin, dass der Maximum-Likelihood-Schätzer von dem eingangs eingeführten Schätzer $s^2$ insofern abweicht, als  wir durch $n$ teilen und nicht durch $n-p$. Entsprechend ist der Maximum-Likelihood-Schätzer auch nicht erwartungstreu.
 :::
 
+## Konfidenzintervalle für die Regressionsparameter
+
 Wir können die bislang erzielten Ergebnisse jetzt verwenden, um Konfidenzintervalle für die Parameter des linearen Modells anzugeben. Vorab formulieren und beweisen wir eine Folgerung aus dem obigen Satz.
 
 ::: {#thm-regression3-cor}
@@ -775,7 +779,9 @@ Schließlich können wir noch Konfidenzintervalle für die Parameter $\alpha$ un
 Die oben gemachte Bemerkung über die Varianz von $\hat{\beta}$ spiegelt sich hier in der Länge des Konfidenzintervalls wider, das umgekehrt proportional zu $\sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$ ist. 
 :::
 
-## Konfidenzintervalle für die Regressionsparameter
+::: {.remark}
+### Konfidenzintervalle für die Regressionsparameter in R
+<br>
 
 Ein $(1-\alpha)$-Konfidenzintervall für den Regressionsparameter
 $\beta_j$ ist gegeben durch
@@ -788,6 +794,7 @@ geschätzte Standardabweichung findet man in `R` in der Spalte
 neben dem Schätzwert für den Parameter $\beta_j$. So erhalten wir etwa
 für den Parameter $\beta_2$ das $95\%$-Konfidenzintervall mit den
 Grenzen $0.065 \pm 0.032$, also das Intervall $[0.033, 0.097]$.
+:::
 
 ::: {#exr-regression3-usairpollution-2 .r-project}
 
@@ -826,7 +833,7 @@ zurück zu @exr-regression3-usairpollution
 ::: {.callout-tip collapse="true"}
 ### Lösung zu @exr-regression3-usairpollution-2
 
-1. Wir bestimmen die Schätzwerte für die Parameter in R wie folgt:
+1. Wir bestimmen die Schätzwerte für die Parameter in`R`wie folgt:
 
 ```{r}
 attach(USairpollution)